Binomische Formeln einfach erklärt (mit Beispielen & Tabelle)

Sobald du in Klasse 7 oder 8 Klammern mit Variablen ausmultiplizieren sollst, kommen die binomischen Formeln ins Spiel. Ich bin Niru und gebe 1:1-Online-Nachhilfe in Mathe. Hier bekommst du die drei binomischen Formeln einfach erklärt: als Übersichtstabelle, mit durchgerechneten Beispielen, mit der oft gefürchteten Rückwärts-Anwendung (Faktorisieren) – und einem kurzen Blick auf (a+b)^3. Dazu die Stolperfallen, an denen meine Schüler immer wieder hängen bleiben.

Kurz gesagt: Es gibt drei binomische Formeln. Erste: (a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2. Zweite: (a−b)^2 = a^2 − 2ab + b^2. Dritte: (a+b)(a−b) = a^2 − b^2. Sie sind feste Abkürzungen fürs Ausmultiplizieren – und du kannst sie rückwärts lesen, um Terme zu faktorisieren. Der häufigste Fehler: den Mittelterm 2ab vergessen.

Die drei binomischen Formeln in der Übersicht

Ein Binom ist eine Summe oder Differenz aus zwei Gliedern, etwa a + b. Die binomischen Formeln sagen dir, was passiert, wenn du so ein Binom quadrierst oder zwei davon multiplizierst. Hier alle drei auf einen Blick:

Nr.	Formel	Merksatz
1. (Plus-Formel)	(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2	Erstes Quadrat, plus doppeltes Produkt, plus zweites Quadrat
2. (Minus-Formel)	(a−b)^2 = a^2 − 2ab + b^2	Wie oben, nur der Mittelterm wird minus
3. (Plus-Minus-Formel)	(a+b)(a−b) = a^2 − b^2	Differenz der Quadrate, der Mittelterm fällt weg

Drei Dinge solltest du dir merken: Bei der ersten und zweiten Formel steht immer der Mittelterm 2ab – nur das Vorzeichen ändert sich. Bei der dritten verschwindet der Mittelterm komplett. Und b^2 ist bei allen drei Formeln positiv, auch bei der zweiten, weil ein Minus mal Minus wieder Plus ergibt.

Warum gilt das? Kurze Herleitung

Die binomischen Formeln sind kein Auswendiglern-Trick, sondern nur sauberes Ausmultiplizieren. Schau dir (a+b)^2 = (a+b)(a+b) an. Du multiplizierst jeden Summanden der ersten Klammer mit jedem der zweiten:

(a+b)(a+b) = a·a + a·b + b·a + b·b = a^2 + ab + ab + b^2 = a^2 + 2ab + b^2

Der Mittelterm 2ab entsteht also, weil ab genau zweimal auftaucht. Bei der dritten Formel passiert das Gegenteil:

(a+b)(a−b) = a·a − a·b + b·a − b·b = a^2 − ab + ab − b^2 = a^2 − b^2

Hier heben sich −ab und +ab gegenseitig auf – deshalb bleibt nur die Differenz der Quadrate übrig. Wer das einmal selbst durchgerechnet hat, vergisst die Formeln nicht mehr. Falls das Ausmultiplizieren noch wackelt, lohnt ein Blick auf Terme und Termumformungen.

Beispiel: Die Formeln vorwärts anwenden

Jetzt mit echten Zahlen statt nur a und b. Wichtig: a und b stehen für das, was in den Klammern steht – auch wenn dort 3x oder 5 steht.

Beispiel 1 (erste Formel): Multipliziere (2x + 3)^2 aus. Hier ist a = 2x und b = 3:

• a^2 = (2x)^2 = 4x^2
• 2ab = 2 · 2x · 3 = 12x
• b^2 = 3^2 = 9

Ergebnis: (2x + 3)^2 = 4x^2 + 12x + 9.

Beispiel 2 (zweite Formel): Multipliziere (5 − 3y)^2 aus. Hier ist a = 5 und b = 3y:

• a^2 = 5^2 = 25
• 2ab = 2 · 5 · 3y = 30y
• b^2 = (3y)^2 = 9y^2

Ergebnis: (5 − 3y)^2 = 25 − 30y + 9y^2. Beachte: (3y)^2 = 9y^2, nicht 3y^2 – die Hochzahl gilt auch für die 3. Mehr dazu im Beitrag zu den Potenzgesetzen.

Binomische Formeln rückwärts: faktorisieren

Das ist die Königsdisziplin und genau das, was in ZP10-Aufgaben in NRW und später bei quadratischen Funktionen immer wieder verlangt wird. Rückwärts heißt: Du hast die ausmultiplizierte Form und schreibst sie wieder als Klammer-Produkt. Das nennt man Faktorisieren.

So gehst du vor: Schau, ob der Term zur rechten Seite einer Formel passt. Steht da a^2 − b^2 (eine Differenz zweier Quadrate)? Dann nutzt du die dritte Formel. Steht da a^2 ± 2ab + b^2? Dann die erste oder zweite.

Beispiel 3 (dritte Formel rückwärts): Faktorisiere x^2 − 49. Du erkennst zwei Quadrate: x^2 und 49 = 7^2. Also a = x, b = 7:

x^2 − 49 = x^2 − 7^2 = (x + 7)(x − 7)

Beispiel 4 (erste Formel rückwärts): Faktorisiere x^2 + 10x + 25. Prüfe: Ist der erste Term ein Quadrat? Ja, x^2. Ist der letzte ein Quadrat? Ja, 25 = 5^2, also b = 5. Passt der Mittelterm? 2ab = 2 · x · 5 = 10x – stimmt genau. Damit:

x^2 + 10x + 25 = (x + 5)^2

Der Mittelterm ist die Probe: Nur wenn 2ab zum gegebenen Term passt, darfst du als Quadrat schreiben. Bei x^2 + 11x + 25 ginge das nicht.

Rechentrick: Kopfrechnen mit der dritten Formel

Die dritte binomische Formel ist auch ein Kopfrechen-Werkzeug. Beispiel: 103 · 97. Schreibe das als (100 + 3)(100 − 3):

(100 + 3)(100 − 3) = 100^2 − 3^2 = 10000 − 9 = 9991

Ohne schriftliche Multiplikation, nur mit der Formel. Solche Tricks zeigen, dass die Formeln keine Schikane sind, sondern echte Abkürzungen.

Kurz: binomische Formeln hoch 3

Manchmal taucht (a+b)^3 auf. Auch das folgt demselben Prinzip, nur mit mehr Termen:

(a+b)^3 = a^3 + 3a^2 b + 3ab^2 + b^3

(a−b)^3 = a^3 − 3a^2 b + 3ab^2 − b^3

Beispiel 5: (x + 2)^3 = x^3 + 3 · x^2 · 2 + 3 · x · 2^2 + 2^3 = x^3 + 6x^2 + 12x + 8. In Klasse 7/8 brauchst du diese Variante selten – die drei klassischen Formeln stehen klar im Vordergrund. Eine Übersicht aller Themen findest du unter Mathe einfach erklärt.

Merkregeln, die wirklich helfen

• Erste und zweite Formel: erstes Quadrat, doppeltes Produkt, zweites Quadrat. Nur das Vorzeichen des Mittelterms wechselt.
• b^2 ist immer positiv, auch bei der Minus-Formel.
• Dritte Formel: Plus mal Minus ergibt die Differenz der Quadrate – der Mittelterm fällt weg.
• Rückwärts: zwei Quadrate erkennen, dann Mittelterm als Probe rechnen.

Übung zum Schluss

Faktorisiere 4x^2 − 9 und multipliziere (x − 6)^2 aus. (Lösung: 4x^2 − 9 = (2x)^2 − 3^2 = (2x + 3)(2x − 3) mit der dritten Formel; und (x − 6)^2 = x^2 − 12x + 36 mit der zweiten Formel.) Wenn du beides ohne Spickzettel schaffst, sitzen die binomischen Formeln – und die brauchst du von Klasse 7 bis in die Oberstufe ständig.

Fazit: Die drei binomischen Formeln sind feste Abkürzungen fürs Ausmultiplizieren. Wer den Mittelterm 2ab nie vergisst, die dritte Formel als Differenz der Quadrate erkennt und beide Richtungen – vorwärts und rückwärts – übt, hat eines der wichtigsten Werkzeuge der Termumformung sicher in der Hand.