Quadratische Gleichungen lösen: alle 5 Methoden mit Beispielen

Quadratische Gleichungen lösen ist DAS Thema in Klasse 9 – und es taucht danach immer wieder auf, von der ZP10 bis zum Abitur. Ich bin Niru, Mathe-Nachhilfelehrer aus Köln, und ich sehe jede Woche, woran es wirklich hakt: nicht am Rechnen, sondern daran, welche Methode wann die richtige ist. Deshalb bekommst du hier alle fünf Wege mit je einem komplett durchgerechneten Beispiel – ehrlich, ohne Umwege.

Kurz gesagt: Eine quadratische Gleichung hat die Form ax² + bx + c = 0. Du teilst durch a, bringst sie auf die Normalform x² + px + q = 0 und löst mit der pq-Formel x₁,₂ = −p/2 ± √((p/2)² − q). Der Ausdruck unter der Wurzel (Diskriminante) verrät, ob es zwei, eine oder keine Lösung gibt. Fehlt das konstante Glied, klammerst du x aus; steht nur x² = c, ziehst du direkt die Wurzel.

Was ist eine quadratische Gleichung?

Eine quadratische Gleichung ist eine Gleichung, in der die Unbekannte im Quadrat vorkommt – und zwar als höchste Potenz. Bevor du loslegst, solltest du erkennen, welche Form vor dir liegt:

Form	Aussehen	Beispiel
Allgemeine Form	ax² + bx + c = 0	2x² + 5x − 3 = 0
Normalform	x² + px + q = 0	x² − 6x + 8 = 0
Reinquadratisch	x² = c	4x² − 36 = 0
Ohne konstantes Glied	ax² + bx = 0	x² − 5x = 0

Die Lösungen der Gleichung sind übrigens genau die Nullstellen der zugehörigen Parabel – wie die aussieht, erkläre ich in meinem Artikel zu quadratischen Funktionen. Steht die Gleichung noch nicht in einer dieser Formen, hilft dir sicheres Umformen von Termen: alles auf eine Seite bringen, zusammenfassen, fertig.

Methode 1: Die pq-Formel

Die pq-Formel ist der Standardweg für die Normalform x² + px + q = 0:

x₁,₂ = −p/2 ± √((p/2)² − q)

Beispiel: x² − 6x + 8 = 0

1. Ablesen: p = −6 und q = 8. Achtung, das Vorzeichen gehört zu p dazu!
2. Einsetzen: x₁,₂ = 3 ± √(9 − 8) = 3 ± √1 = 3 ± 1
3. Lösungen: x₁ = 4 und x₂ = 2

Probe: 4² − 6·4 + 8 = 16 − 24 + 8 = 0 – passt. Wichtigste Regel: Steht vor x² eine Zahl ungleich 1, teilst du zuerst die ganze Gleichung durch diese Zahl.

Methode 2: Die abc-Formel (Mitternachtsformel)

Die abc-Formel – in Bayern Mitternachtsformel genannt, weil man sie um Mitternacht geweckt aufsagen können soll – funktioniert direkt für die allgemeine Form ax² + bx + c = 0:

x₁,₂ = (−b ± √(b² − 4ac)) / (2a)

Beispiel: 2x² + 5x − 3 = 0

1. Ablesen: a = 2, b = 5, c = −3
2. Diskriminante: b² − 4ac = 25 − 4·2·(−3) = 25 + 24 = 49, also √49 = 7
3. Einsetzen: x₁,₂ = (−5 ± 7) / 4
4. Lösungen: x₁ = 2/4 = 0,5 und x₂ = −12/4 = −3

Der Vorteil gegenüber der pq-Formel: Du musst nicht erst durch a teilen und riskierst keine Bruchrechnung bei p und q. Beide Formeln liefern exakt dieselben Ergebnisse – nimm die, die an deiner Schule unterrichtet wird.

Methode 3: Quadratische Ergänzung – Lösen ganz ohne Formel

Die quadratische Ergänzung ist die Methode, aus der die pq-Formel überhaupt erst hergeleitet wird. Wer sie beherrscht, ist nie aufgeschmissen, wenn die Formel im Kopf fehlt – und braucht sie später sowieso, um die Normalform in die Scheitelpunktform umzuwandeln.

Die Idee: Du baust auf der linken Seite künstlich ein vollständiges Binom, damit du die Wurzel ziehen kannst.

Beispiel: x² + 8x − 20 = 0

1. Konstante rüberbringen: x² + 8x = 20
2. Ergänzen: Die Hälfte von 8 ist 4, quadriert 16. Auf beiden Seiten addieren: x² + 8x + 16 = 36
3. Binom bilden: (x + 4)² = 36
4. Wurzel ziehen: x + 4 = 6 oder x + 4 = −6
5. Lösungen: x₁ = 2 und x₂ = −10

Probe: (−10)² + 8·(−10) − 20 = 100 − 80 − 20 = 0 – stimmt. Der klassische Stolperstein in Schritt 4: Es gibt zwei Wurzeln, +6 und −6. Wer nur die positive nimmt, verliert die halbe Lösung.

Methode 4: Satz vom Nullprodukt und Ausklammern

Der Satz vom Nullprodukt sagt: Ein Produkt ist genau dann null, wenn mindestens ein Faktor null ist. Das ist der schnellste Weg, wenn das konstante Glied fehlt.

Beispiel: x² − 5x = 0

1. x ausklammern: x · (x − 5) = 0
2. Jeden Faktor null setzen: x₁ = 0 oder x − 5 = 0
3. Lösungen: x₁ = 0 und x₂ = 5

Ganz wichtig: Niemals durch x teilen! Dann verschwindet die Lösung x = 0 unbemerkt – ein halber Punkt weg in jeder Klausur. Auch Faktorisieren mit den binomischen Formeln fällt in diese Kategorie: x² − 9 = 0 wird zu (x − 3)(x + 3) = 0, also x₁ = 3 und x₂ = −3.

Methode 5: Die einfache Form x² = c

Kommt gar kein einzelnes x vor, brauchst du keine Formel – nur Umstellen und Wurzelziehen.

Beispiel: 4x² − 36 = 0

1. Umstellen: 4x² = 36, also x² = 9
2. Wurzel ziehen: x₁ = 3 und x₂ = −3

Ist c negativ (etwa x² = −4), gibt es keine Lösung, denn ein Quadrat ist nie negativ.

Die Diskriminante: Wie viele Lösungen gibt es?

Der Ausdruck unter der Wurzel heißt Diskriminante: D = (p/2)² − q bei der pq-Formel bzw. D = b² − 4ac bei der abc-Formel. Sie entscheidet über die Anzahl der Lösungen – noch bevor du fertig rechnest:

Diskriminante	Anzahl Lösungen	Bedeutung für die Parabel
D > 0	zwei Lösungen	schneidet die x-Achse zweimal
D = 0	genau eine Lösung	berührt die x-Achse im Scheitel
D < 0	keine Lösung	verläuft komplett ober- oder unterhalb der x-Achse

In unserem pq-Beispiel war D = 1 > 0, deshalb gab es zwei Lösungen.

Welche Methode nehme ich wann?

Mein Entscheidungsbaum für die Klausur:

Die Gleichung sieht aus wie …	Beste Methode
x² = c oder ax² + c = 0	Umstellen und Wurzel ziehen
ax² + bx = 0 (kein c)	Ausklammern + Satz vom Nullprodukt
x² + px + q = 0	pq-Formel
ax² + bx + c = 0 mit a ≠ 1	abc-Formel (oder erst durch a teilen)
Formel vergessen oder Scheitelpunkt gesucht	Quadratische Ergänzung

Fazit: Quadratische Gleichungen lösen ist keine Frage von Talent, sondern von System: Form erkennen, passende Methode wählen, sauber rechnen, Probe machen. Die pq-Formel deckt den Standardfall ab, die quadratische Ergänzung ist dein Plan B (und die Grundlage der Formel), und bei Spezialformen wie x² = c oder fehlendem c geht es ohne Formel schneller. Genau diese Aufgabentypen kommen übrigens verlässlich in der ZP10 Mathe in NRW dran – wer sie jetzt in Klasse 9 sauber lernt, spart sich später viel Stress.