Quadratische Gleichungen lösen: alle 5 Methoden mit Beispielen

Quadratische Gleichungen lösen ist DAS Thema in Klasse 9 – und es taucht danach immer wieder auf, von der ZP10 bis zum Abitur. Ich bin Niru, Mathe-Tutor bei MatheCode, und ich sehe jede Woche, woran es wirklich hakt: nicht am Rechnen, sondern daran, welche Methode wann die richtige ist. Deshalb bekommst du hier alle fünf Wege mit je einem komplett durchgerechneten Beispiel – ehrlich, ohne Umwege.

Kurz gesagt: Eine quadratische Gleichung hat die Form ax² + bx + c = 0. Du teilst durch a, bringst sie auf die Normalform x² + px + q = 0 und löst mit der pq-Formel x₁,₂ = −p/2 ± √((p/2)² − q). Der Ausdruck unter der Wurzel (Diskriminante) verrät, ob es zwei, eine oder keine Lösung gibt. Fehlt das konstante Glied, klammerst du x aus; steht nur x² = c, ziehst du direkt die Wurzel.

Was ist eine quadratische Gleichung?

Eine quadratische Gleichung ist eine Gleichung, in der die Unbekannte im Quadrat vorkommt – und zwar als höchste Potenz. Bevor du loslegst, solltest du erkennen, welche Form vor dir liegt:

Form	Aussehen	Beispiel
Allgemeine Form	ax² + bx + c = 0	2x² + 5x − 3 = 0
Normalform	x² + px + q = 0	x² − 6x + 8 = 0
Reinquadratisch	x² = c	4x² − 36 = 0
Ohne konstantes Glied	ax² + bx = 0	x² − 5x = 0

Die Lösungen der Gleichung sind übrigens genau die Nullstellen der zugehörigen Parabel – wie die aussieht, erkläre ich in meinem Artikel zu quadratischen Funktionen. Steht die Gleichung noch nicht in einer dieser Formen, hilft dir sicheres Umformen von Termen: alles auf eine Seite bringen, zusammenfassen, fertig.

Methode 1: Die pq-Formel

Die pq-Formel ist der Standardweg für die Normalform x² + px + q = 0:

x₁,₂ = −p/2 ± √((p/2)² − q)

Beispiel: x² − 6x + 8 = 0

1. Ablesen: p = −6 und q = 8. Achtung, das Vorzeichen gehört zu p dazu!
2. Einsetzen: x₁,₂ = 3 ± √(9 − 8) = 3 ± √1 = 3 ± 1
3. Lösungen: x₁ = 4 und x₂ = 2

Probe: 4² − 6·4 + 8 = 16 − 24 + 8 = 0 – passt. Wichtigste Regel: Steht vor x² eine Zahl ungleich 1, teilst du zuerst die ganze Gleichung durch diese Zahl.

Methode 2: Die abc-Formel (Mitternachtsformel)

Die abc-Formel – in Bayern Mitternachtsformel genannt, weil man sie um Mitternacht geweckt aufsagen können soll – funktioniert direkt für die allgemeine Form ax² + bx + c = 0:

x₁,₂ = (−b ± √(b² − 4ac)) / (2a)

Beispiel: 2x² + 5x − 3 = 0

1. Ablesen: a = 2, b = 5, c = −3
2. Diskriminante: b² − 4ac = 25 − 4·2·(−3) = 25 + 24 = 49, also √49 = 7
3. Einsetzen: x₁,₂ = (−5 ± 7) / 4
4. Lösungen: x₁ = 2/4 = 0,5 und x₂ = −12/4 = −3

Der Vorteil gegenüber der pq-Formel: Du musst nicht erst durch a teilen und riskierst keine Bruchrechnung bei p und q. Beide Formeln liefern exakt dieselben Ergebnisse – nimm die, die an deiner Schule unterrichtet wird.

Methode 3: Quadratische Ergänzung – Lösen ganz ohne Formel

Die quadratische Ergänzung ist die Methode, aus der die pq-Formel überhaupt erst hergeleitet wird. Wer sie beherrscht, ist nie aufgeschmissen, wenn die Formel im Kopf fehlt – und braucht sie später sowieso, um die Normalform in die Scheitelpunktform umzuwandeln.

Die Idee: Du baust auf der linken Seite künstlich ein vollständiges Binom, damit du die Wurzel ziehen kannst.

Beispiel: x² + 8x − 20 = 0

1. Konstante rüberbringen: x² + 8x = 20
2. Ergänzen: Die Hälfte von 8 ist 4, quadriert 16. Auf beiden Seiten addieren: x² + 8x + 16 = 36
3. Binom bilden: (x + 4)² = 36
4. Wurzel ziehen: x + 4 = 6 oder x + 4 = −6
5. Lösungen: x₁ = 2 und x₂ = −10

Probe: (−10)² + 8·(−10) − 20 = 100 − 80 − 20 = 0 – stimmt. Der klassische Stolperstein in Schritt 4: Es gibt zwei Wurzeln, +6 und −6. Wer nur die positive nimmt, verliert die halbe Lösung.

Methode 4: Satz vom Nullprodukt und Ausklammern

Der Satz vom Nullprodukt sagt: Ein Produkt ist genau dann null, wenn mindestens ein Faktor null ist. Das ist der schnellste Weg, wenn das konstante Glied fehlt.

Beispiel: x² − 5x = 0

1. x ausklammern: x · (x − 5) = 0
2. Jeden Faktor null setzen: x₁ = 0 oder x − 5 = 0
3. Lösungen: x₁ = 0 und x₂ = 5

Ganz wichtig: Niemals durch x teilen! Dann verschwindet die Lösung x = 0 unbemerkt – ein halber Punkt weg in jeder Klausur. Auch Faktorisieren mit den binomischen Formeln fällt in diese Kategorie: x² − 9 = 0 wird zu (x − 3)(x + 3) = 0, also x₁ = 3 und x₂ = −3.

Methode 5: Die einfache Form x² = c

Kommt gar kein einzelnes x vor, brauchst du keine Formel – nur Umstellen und Wurzelziehen.

Beispiel: 4x² − 36 = 0

1. Umstellen: 4x² = 36, also x² = 9
2. Wurzel ziehen: x₁ = 3 und x₂ = −3

Ist c negativ (etwa x² = −4), gibt es keine Lösung, denn ein Quadrat ist nie negativ.

Die Diskriminante: Wie viele Lösungen gibt es?

Der Ausdruck unter der Wurzel heißt Diskriminante: D = (p/2)² − q bei der pq-Formel bzw. D = b² − 4ac bei der abc-Formel. Sie entscheidet über die Anzahl der Lösungen – noch bevor du fertig rechnest:

Diskriminante	Anzahl Lösungen	Bedeutung für die Parabel
D > 0	zwei Lösungen	schneidet die x-Achse zweimal
D = 0	genau eine Lösung	berührt die x-Achse im Scheitel
D < 0	keine Lösung	verläuft komplett ober- oder unterhalb der x-Achse

In unserem pq-Beispiel war D = 1 > 0, deshalb gab es zwei Lösungen.

Welche Methode nehme ich wann?

Mein Entscheidungsbaum für die Klausur:

Die Gleichung sieht aus wie …	Beste Methode
x² = c oder ax² + c = 0	Umstellen und Wurzel ziehen
ax² + bx = 0 (kein c)	Ausklammern + Satz vom Nullprodukt
x² + px + q = 0	pq-Formel
ax² + bx + c = 0 mit a ≠ 1	abc-Formel (oder erst durch a teilen)
Formel vergessen oder Scheitelpunkt gesucht	Quadratische Ergänzung

Quadratische Gleichungen in Textaufgaben lösen

Genau hier hakt es bei den meisten Schülern, die ich unterrichte – nicht beim Rechnen selbst, sondern beim Aufstellen der Gleichung aus einem Sachtext. Die Formel danach ist reine Routine.

Beispiel: Ein Rechteck ist 2 cm länger als breit. Der Flächeninhalt beträgt 48 cm². Wie lang sind die Seiten?

1. Variable einführen: Breite x, Länge x + 2
2. Bedingung übersetzen: Fläche = Länge · Breite, also x · (x + 2) = 48
3. Normalform herstellen: x² + 2x − 48 = 0
4. pq-Formel anwenden: p = 2, q = −48, also x₁,₂ = −1 ± √(1 + 48) = −1 ± 7
5. Mathematisch gibt es zwei Lösungen: x₁ = 6 und x₂ = −8

Jetzt kommt der Schritt, den viele vergessen: im Sachzusammenhang zurückübersetzen. Eine Breite von −8 cm ergibt keinen Sinn, diese Lösung fällt weg. Es bleibt x = 6: Die Breite ist 6 cm, die Länge 6 + 2 = 8 cm. Probe: 6 · 8 = 48 – passt.

Genau diesen letzten Schritt – prüfen, ob die Lösung im Kontext überhaupt möglich ist – vergessen selbst gute Schüler regelmäßig und verschenken dadurch Punkte, obwohl die Rechnung stimmt. Führt eine Aufgabe dagegen auf zwei gleichzeitig gesuchte Größen mit zwei unabhängigen Bedingungen, brauchst du oft kein quadratisches, sondern ein lineares Gleichungssystem – der Trick ist, im Text zu erkennen, welcher Gleichungstyp überhaupt gefragt ist.

Übung zum Schluss

Löse x² − 2x − 15 = 0 und mach anschließend die Probe für beide Lösungen. (Lösung: p = −2, q = −15, also x₁,₂ = 1 ± √(1 + 15) = 1 ± 4, damit x₁ = 5 und x₂ = −3. Probe: 25 − 10 − 15 = 0 und 9 + 6 − 15 = 0 – beide stimmen.) Klappt das ohne Spickzettel, sitzt die pq-Formel. Wackelt es noch, lohnt sich ein Blick zurück auf die quadratische Ergänzung – daraus ist die Formel schließlich hergeleitet.

Fazit: Quadratische Gleichungen lösen ist keine Frage von Talent, sondern von System: Form erkennen, passende Methode wählen, sauber rechnen, Probe machen. Die pq-Formel deckt den Standardfall ab, die quadratische Ergänzung ist dein Plan B (und die Grundlage der Formel), und bei Spezialformen wie x² = c oder fehlendem c geht es ohne Formel schneller. Genau diese Aufgabentypen kommen übrigens verlässlich in der ZP10 Mathe in NRW dran – wer sie jetzt in Klasse 9 sauber lernt, spart sich später viel Stress. Eine Übersicht über alle Schulmathe-Themen findest du unter Mathe einfach erklärt, und wer mehr über meinen Hintergrund als Mathe-Tutor wissen möchte, wird auf über Niru fündig.