Determinante berechnen: 2x2, Sarrus, inverse & transponierte Matrix

Wenn du im ersten Semester Ingenieurwesen, Informatik oder Mathe studierst, kommst du an drei Dingen nicht vorbei: Determinante berechnen, inverse Matrix bestimmen und transponieren. Ich bin Niru, Mathe-Tutor bei MatheCode, und ich sehe jedes Semester dieselben Übungszettel – und dieselben vermeidbaren Fehler. In diesem Artikel bekommst du alle Formeln kompakt, zwei komplett durchgerechnete Beispiele und die Stolperfallen, die in LA-1-Klausuren wirklich Punkte kosten.

Kurz gesagt: Für eine 2x2-Matrix A = (a b; c d) gilt det(A) = a·d − b·c, für 3x3 nutzt du die Regel von Sarrus. Die Inverse einer 2x2-Matrix ist A^(-1) = 1/det(A) · (d −b; −c a) – sie existiert genau dann, wenn det(A) ≠ 0. Die Transponierte A^T entsteht durch Vertauschen von Zeilen und Spalten; gilt A = A^T, heißt die Matrix symmetrisch.

Determinante berechnen: die Formeln im Überblick

Die Determinante ist eine einzelne Zahl, die dir sofort verrät, ob eine quadratische Matrix invertierbar ist – und geometrisch, wie stark die zugehörige lineare Abbildung Flächen bzw. Volumen skaliert.

Größe	Methode	Formel
2x2	Diagonalen-Formel	det(A) = a·d − b·c
3x3	Regel von Sarrus	det(A) = aei + bfg + cdh − ceg − afh − bdi
n x n	Laplace-Entwicklung	det(A) = Σ (−1)^(i+j) · a_ij · det(A_ij)
n x n	Gauß-Verfahren	auf Dreiecksform bringen, Produkt der Diagonale

Der 2x2-Fall ist der Einstieg: Hauptdiagonale mal, Nebendiagonale minus. Für A = (3 5; 2 4) rechnest du det(A) = 3·4 − 5·2 = 12 − 10 = 2. Fertig.

Regel von Sarrus: 3x3-Determinante komplett durchgerechnet

Für die 3x3-Matrix A = (a b c; d e f; g h i) schreibst du gedanklich die ersten beiden Spalten noch einmal rechts daneben. Dann bildest du drei “Runter-Diagonalen” (plus) und drei “Rauf-Diagonalen” (minus).

Rechnen wir das an einem konkreten Beispiel. Gegeben ist A = (2 1 3; 0 4 1; 5 2 0), also a=2, b=1, c=3, d=0, e=4, f=1, g=5, h=2, i=0.

Plus-Diagonalen (nach rechts unten):

• a·e·i = 2·4·0 = 0
• b·f·g = 1·1·5 = 5
• c·d·h = 3·0·2 = 0

Minus-Diagonalen (nach rechts oben):

• c·e·g = 3·4·5 = 60
• a·f·h = 2·1·2 = 4
• b·d·i = 1·0·0 = 0

Zusammensetzen: det(A) = 0 + 5 + 0 − 60 − 4 − 0 = −59.

Zur Kontrolle die Laplace-Entwicklung nach der ersten Zeile: det(A) = 2·(4·0 − 1·2) − 1·(0·0 − 1·5) + 3·(0·2 − 4·5) = 2·(−2) − 1·(−5) + 3·(−20) = −4 + 5 − 60 = −59. Beide Wege liefern dasselbe Ergebnis – genau so prüfst du dich auch in der Klausur.

Laplace in Kürze: Du entwickelst nach einer Zeile oder Spalte, streichst für jeden Eintrag a_ij dessen Zeile und Spalte, berechnest die kleinere Unterdeterminante det(A_ij) und gewichtest mit dem Schachbrett-Vorzeichen (−1)^(i+j). Profi-Tipp: Entwickle immer nach der Zeile oder Spalte mit den meisten Nullen – im Beispiel oben wäre die erste Spalte mit der 0 in der Mitte noch schneller gewesen. Wichtig: Sarrus funktioniert nur für 3x3. Ab 4x4 brauchst du zwingend Laplace oder das Gauß-Verfahren, das du aus dem Lösen linearer Gleichungssysteme schon kennst.

Wann ist eine Matrix invertierbar?

Hier zahlt sich die Determinante sofort aus. Für eine quadratische Matrix A sind folgende Aussagen äquivalent – dieser “Äquivalenzsatz” ist ein Klausurklassiker:

• det(A) ≠ 0
• A ist invertierbar, d. h. es gibt A^(-1) mit A·A^(-1) = E
• die Spalten von A sind linear unabhängig
• A hat vollen Rang
• das LGS Ax = b ist für jedes b eindeutig lösbar

Unsere Sarrus-Matrix mit det(A) = −59 ≠ 0 ist also invertierbar. Eine Matrix wie B = (2 4; 1 2) mit det(B) = 2·2 − 4·1 = 0 dagegen nicht – ihre zweite Zeile ist das Halbe der ersten, die Zeilen sind linear abhängig.

Inverse Matrix berechnen: 2x2-Formel Schritt für Schritt

Für 2x2-Matrizen gibt es eine geschlossene Formel, die du auswendig können musst:

A^(-1) = 1/det(A) · (d −b; −c a)

In Worten: Hauptdiagonale tauschen, Nebendiagonale mit Minuszeichen versehen, alles durch die Determinante teilen.

Beispiel: A = (4 7; 2 6).

1. Determinante: det(A) = 4·6 − 7·2 = 24 − 14 = 10. Da 10 ≠ 0, existiert die Inverse.
2. Formel anwenden: A^(-1) = 1/10 · (6 −7; −2 4) = (3/5 −7/10; −1/5 2/5).
3. Probe: A·A^(-1) = (4·(3/5) + 7·(−1/5), 4·(−7/10) + 7·(2/5); 2·(3/5) + 6·(−1/5), 2·(−7/10) + 6·(2/5)). Erste Zeile: 12/5 − 7/5 = 5/5 = 1 und −14/5 + 14/5 = 0. Zweite Zeile: 6/5 − 6/5 = 0 und −7/5 + 12/5 = 1. Es kommt die Einheitsmatrix E = (1 0; 0 1) heraus. Passt.

Die Probe kostet dich 30 Sekunden und sichert volle Punkte – mach sie immer.

Gauß-Jordan für größere Matrizen: Ab 3x3 nutzt du den Gauß-Jordan-Algorithmus. Die Idee: Du schreibst A und die Einheitsmatrix nebeneinander in ein Schema [A | E] und formst mit elementaren Zeilenumformungen so lange um, bis links die Einheitsmatrix steht. Rechts steht dann automatisch die Inverse: [A | E] → [E | A^(-1)]. Jede Umformung, die du auf A anwendest, wendest du gleichzeitig auf die rechte Seite an – deshalb funktioniert es. Wenn beim Umformen links eine Nullzeile entsteht, ist A nicht invertierbar.

Transponierte Matrix und symmetrische Matrizen

Die transponierte Matrix A^T bekommst du, indem du Zeilen und Spalten vertauschst: Die erste Zeile wird zur ersten Spalte und so weiter. Aus A = (1 2; 3 4) wird A^T = (1 3; 2 4), aus einer 2x3-Matrix wird eine 3x2-Matrix.

Regel	Formel
Doppelt transponieren	(A^T)^T = A
Summe	(A + B)^T = A^T + B^T
Produkt (Reihenfolge dreht sich!)	(A·B)^T = B^T·A^T
Determinante	det(A^T) = det(A)
Inverse	(A^T)^(-1) = (A^(-1))^T

Eine quadratische Matrix heißt symmetrisch, wenn A = A^T gilt – die Einträge sind an der Hauptdiagonale gespiegelt, also a_ij = a_ji. Beispiel: S = (2 5; 5 7) ist symmetrisch, denn Transponieren ändert nichts. Symmetrische Matrizen sind die “gutmütigsten” Matrizen der linearen Algebra: Ihre Eigenwerte sind immer reell und sie lassen sich stets diagonalisieren. Genau deshalb tauchen sie später überall auf – wie das mit dem charakteristischen Polynom det(A − λE) = 0 zusammenhängt, zeige ich dir im Artikel über Eigenwerte und Eigenvektoren berechnen.

So übst du das klausursicher

Determinanten, Inverse und Transponieren sind reine Rechentechnik – hier holst du in der Klausur die sicheren Punkte, bevor es an Beweise geht. Meine Empfehlung: Rechne pro Technik fünf Aufgaben mit Probe, dann sitzt sie. Wie du das in eine komplette Klausurstrategie einbettest, liest du in meinem Guide Lineare Algebra 1 Klausur bestehen. Wenn dir schon die Bruch- und Vorzeichenroutine aus der Schule fehlt, hilft dir der Mathe-Vorkurs-Artikel beim Aufholen. Und falls LinAlg nur eines von mehreren Mathe-Modulen ist, die dich gerade stressen, schau in meinen Überblick zur Höheren Mathematik im Studium.

Fazit: Determinante berechnen heißt für 2x2 einfach a·d − b·c, für 3x3 Regel von Sarrus, ab 4x4 Laplace oder Gauß. Die Inverse existiert genau dann, wenn det(A) ≠ 0 – für 2x2 mit der Formel A^(-1) = 1/det(A) · (d −b; −c a), sonst per Gauß-Jordan. Die Transponierte vertauscht Zeilen und Spalten, und A = A^T definiert die symmetrische Matrix. Wer diese Routinen mit Probe rechnet, nimmt aus jeder LA-1-Klausur die sicheren Punkte mit.