Eigenwerte und Eigenvektoren berechnen: Rezept mit Beispielen

Eigenwerte berechnen ist die eine Aufgabe, die in praktisch jeder Klausur zur Linearen Algebra 1 auftaucht – und gleichzeitig eine der dankbarsten, weil sie nach einem festen Rezept funktioniert. Ich bin Niru, Mathe-Tutor bei MatheCode, und ich habe diese Rechnung mit Studierenden aus Mathe, Informatik und Maschinenbau hunderte Male durchgespielt. In diesem Artikel bekommst du das komplette Rezept: Definition, charakteristisches Polynom, Eigenvektoren über ein LGS – mit einem vollständig durchgerechneten 2x2-Beispiel, einem 3x3-Fahrplan und den Kontrollen, mit denen du Rechenfehler sofort erwischst.

Kurz gesagt: Eigenwerte λ einer Matrix A sind die Lösungen der Gleichung det(A − λE) = 0 (charakteristisches Polynom). Die zugehörigen Eigenvektoren v ≠ 0 bekommst du danach als nichttriviale Lösungen des homogenen LGS (A − λE)·v = 0. Schnelle Kontrolle: Die Spur von A ist die Summe aller Eigenwerte, die Determinante ihr Produkt.

Was Eigenwerte und Eigenvektoren eigentlich sind

Die Definition ist eine einzige Gleichung: Ein Vektor v ≠ 0 heißt Eigenvektor der quadratischen Matrix A zum Eigenwert λ, wenn

A·v = λ·v

gilt. In Worten: Die Matrix A verdreht diesen speziellen Vektor nicht, sondern streckt oder staucht ihn nur um den Faktor λ. Während A fast alle Vektoren irgendwohin dreht, behalten Eigenvektoren ihre Richtung – sie sind die “Achsen”, entlang derer sich die Abbildung besonders einfach verhält.

Warum daraus das Rezept folgt: Ich forme A·v = λ·v um zu A·v − λ·v = 0, also (A − λE)·v = 0, wobei E die Einheitsmatrix ist. Dieses homogene LGS hat immer die triviale Lösung v = 0 – die ist aber verboten. Eine Lösung v ≠ 0 existiert genau dann, wenn A − λE nicht invertierbar ist, also wenn

det(A − λE) = 0.

Diese Gleichung heißt charakteristische Gleichung, die linke Seite ist das charakteristische Polynom. Wenn dir der Zusammenhang “Determinante null bedeutet nicht invertierbar” noch wackelig vorkommt, lies vorher meinen Artikel zu Determinante und inverser Matrix – genau darauf baut alles hier auf.

Das Rezept in vier Schritten

Schritt	Was du tust	Formel
1	Charakteristisches Polynom aufstellen	det(A − λE)
2	Nullstellen bestimmen → Eigenwerte	det(A − λE) = 0
3	Pro Eigenwert das LGS lösen → Eigenvektoren	(A − λE)·v = 0
4	Kontrollieren	Spur(A) = Summe der λ, det(A) = Produkt der λ

Schritt 3 ist reines Gleichungssysteme lösen mit dem Gauß-Algorithmus – nur dass die rechte Seite komplett null ist und du am Ende unendlich viele Lösungen erwarten musst. Das ist kein Fehler, sondern der Sinn der Sache: Mit v ist auch jedes Vielfache t·v ein Eigenvektor.

2x2-Beispiel: komplett durchgerechnet

Ich schreibe Matrizen hier zeilenweise, Zeilen durch Semikolon getrennt. Gegeben sei

A = (2 2; 1 3)

Schritt 1 – charakteristisches Polynom. Ich ziehe λ auf der Diagonalen ab und berechne die 2x2-Determinante:

det(A − λE) = det((2−λ) 2; 1 (3−λ)) = (2−λ)(3−λ) − 2·1

Ausmultiplizieren: (2−λ)(3−λ) = 6 − 2λ − 3λ + λ^2 = λ^2 − 5λ + 6. Also:

det(A − λE) = λ^2 − 5λ + 6 − 2 = λ^2 − 5λ + 4

Schritt 2 – Eigenwerte. Die quadratische Gleichung λ^2 − 5λ + 4 = 0 löse ich mit der p-q-Formel: λ = 5/2 ± √(25/4 − 4) = 5/2 ± √(9/4) = 5/2 ± 3/2. Ergebnis:

λ₁ = 1 und λ₂ = 4

Schritt 3 – Eigenvektoren. Für λ₁ = 1 setze ich ein:

A − 1·E = (1 2; 1 2)

Beide Zeilen liefern dieselbe Gleichung x + 2y = 0, also x = −2y. Mit y = 1 erhalte ich den Eigenvektor v₁ = (−2, 1). Probe: A·v₁ = (2·(−2) + 2·1, 1·(−2) + 3·1) = (−2, 1) = 1·v₁ – passt.

Für λ₂ = 4:

A − 4·E = (−2 2; 1 −1)

Beide Zeilen sagen x = y, also v₂ = (1, 1). Probe: A·v₂ = (2 + 2, 1 + 3) = (4, 4) = 4·v₂ – passt ebenfalls.

Schritt 4 – Kontrolle. Spur(A) = 2 + 3 = 5 und λ₁ + λ₂ = 1 + 4 = 5 – stimmt. det(A) = 2·3 − 2·1 = 4 und λ₁·λ₂ = 1·4 = 4 – stimmt auch. Diese zwei Checks kosten zehn Sekunden und retten in der Klausur regelmäßig Punkte.

3x3-Beispiel: der Fahrplan

Bei 3x3-Matrizen ist das Prinzip identisch, nur das Polynom hat Grad 3. Nimm

A = (4 1 1; 1 4 1; 1 1 4)

Die entscheidenden Schritte:

1. Charakteristisches Polynom mit der Regel von Sarrus oder Laplace-Entwicklung aufstellen. Hier ergibt sich nach dem Vereinfachen det(A − λE) = −(λ − 6)(λ − 3)^2.
2. Nullstellen finden: Bei Grad 3 gibt es keine p-q-Formel. Der Klausur-Trick: Fast immer existiert eine ganzzahlige Nullstelle unter den Teilern des Absolutglieds. Die rätst du durch Einsetzen und teilst dann per Polynomdivision ab – übrig bleibt eine quadratische Gleichung. Hier: λ₁ = 6 und λ₂ = 3 als doppelte Nullstelle.
3. Eigenvektoren: Für λ = 6 löst du (A − 6E)·v = 0 und findest v₁ = (1, 1, 1). Für λ = 3 wird A − 3E zur Matrix aus lauter Einsen – das LGS reduziert sich auf die eine Gleichung x + y + z = 0 mit zwei freien Parametern. Der Eigenraum ist also zweidimensional, z. B. aufgespannt von v₂ = (1, −1, 0) und v₃ = (1, 0, −1).
4. Kontrolle: Spur(A) = 4 + 4 + 4 = 12 = 6 + 3 + 3 und det(A) = 54 = 6·3·3. Beides passt.

Dass zum doppelten Eigenwert hier tatsächlich zwei unabhängige Eigenvektoren existieren, ist keine Selbstverständlichkeit – genau daran entscheidet sich, ob eine Matrix diagonalisierbar ist.

Wozu das Ganze? Diagonalisierung und schwingende Brücken

Eigenwerte sind kein Selbstzweck. Der wichtigste theoretische Nutzen ist die Diagonalisierung: Hat eine n x n-Matrix n linear unabhängige Eigenvektoren, kannst du sie schreiben als A = S·D·S⁻¹, wobei D die Diagonalmatrix der Eigenwerte ist und S die Eigenvektoren als Spalten enthält. Damit werden Potenzen plötzlich trivial: A^k = S·D^k·S⁻¹, und D^k bedeutet nur, die Diagonaleinträge einzeln hochzunehmen.

Und praktisch? Die Eigenwerte einer Systemmatrix beschreiben die Eigenfrequenzen eines schwingungsfähigen Systems. Wenn eine äußere Anregung – Wind, marschierende Fußgänger, ein Motor – genau eine Eigenfrequenz trifft, schaukelt sich das System auf: Resonanz. Genau deshalb musste die Londoner Millennium Bridge im Jahr 2000 kurz nach der Eröffnung nachgerüstet werden. Wer im Maschinenbau-Studium sitzt, rechnet in der Schwingungslehre und Regelungstechnik ständig mit Eigenwerten – die LA-1-Aufgabe von oben ist dort Alltagswerkzeug.

In der Klausur selbst gehört die Eigenwert-Aufgabe zu den planbarsten überhaupt, weil das Rezept immer gleich ist. Wie du sie in deine Gesamtvorbereitung einbaust, beschreibe ich in meiner Strategie für die Lineare-Algebra-1-Klausur. Und wenn es bei dir nicht nur an dieser einen Stelle hakt, sondern die höhere Mathematik insgesamt drückt, findest du im Überblick zur Nachhilfe in höherer Mathematik den größeren Rahmen.

Fazit: Eigenwerte berechnen folgt einem festen Dreischritt – charakteristisches Polynom det(A − λE) = 0 aufstellen, Nullstellen als Eigenwerte bestimmen, dann pro Eigenwert das LGS (A − λE)·v = 0 lösen. Mit den beiden Kontrollen über Spur und Determinante prüfst du dein Ergebnis in Sekunden. Wer das Rezept an zwei, drei Matrizen selbst durchgerechnet hat, holt sich diese Klausuraufgabe fast garantiert – und versteht nebenbei, warum Brücken gedämpft und Matrizen diagonalisiert werden.