Stochastik Abitur Aufgaben mit Lösungen: 5 Übungsaufgaben (NRW)

Du suchst Stochastik Abitur Aufgaben mit Lösungen, die dem entsprechen, was in der Prüfung wirklich drankommt? Ich bin Niru, Mathe-Tutor bei MatheCode, und ich habe dir fünf klausurtypische Aufgaben zusammengestellt – vom Baumdiagramm bis zum Hypothesentest, jede mit einer Schritt für Schritt durchgerechneten Lösung, plus eine Bonus-Aufgabe zum Erwartungswert einer allgemeinen Zufallsgröße. Mein Tipp: erst selbst rechnen, dann vergleichen. Die Theorie dahinter findest du kompakt in meinem Überblick Stochastik im Abitur erklärt.

Kurz gesagt: Die Stochastik im Abitur dreht sich fast immer um vier Bausteine: Pfadregeln, bedingte Wahrscheinlichkeit, Binomialverteilung und Hypothesentest. Die wichtigste Formel ist P(X = k) = (n über k) · p^k · (1 − p)^(n − k) mit Erwartungswert μ = n · p und Standardabweichung σ = √(n · p · (1 − p)). Wer diese vier Aufgabentypen sicher rechnet, holt die meisten Stochastik-Punkte.

Formelübersicht: Das brauchst du für alle Aufgaben dieses Artikels

Thema	Formel	Typische Aufgabe
Produktregel	P(Pfad) = p₁ · p₂ · …	Wahrscheinlichkeit entlang eines Pfades
Summenregel	P(E) = P(Pfad 1) + P(Pfad 2) + …	Mehrere Pfade führen zum Ereignis
Bedingte Wahrscheinlichkeit	P(A∩B) / P(B) für A gegeben B	Vierfeldertafel
Binomialverteilung	P(X = k) = (n über k) · p^k · (1 − p)^(n − k)	Genau k Treffer
Erwartungswert (Binomialverteilung)	μ = n · p	Wie viele Treffer im Schnitt?
Standardabweichung	σ = √(n · p · (1 − p))	Sigma-Regeln, Streuung
Erwartungswert (allgemeine Zufallsgröße)	μ = x₁ · P(X = x₁) + x₂ · P(X = x₂) + …	Wertetabelle, „Ist das Spiel fair?”
Unabhängigkeit prüfen	P(A∩B) = P(A) · P(B)	Zusatzfrage zur Vierfeldertafel

Aufgabe 1: Baumdiagramm und Pfadregeln

Aufgabe: In einer Urne liegen 3 rote und 2 blaue Kugeln. Es werden nacheinander zwei Kugeln ohne Zurücklegen gezogen. Berechne die Wahrscheinlichkeit, dass (a) beide Kugeln rot sind und (b) genau eine Kugel rot ist.

Lösung:

Schritt 1 – Baumdiagramm aufstellen. Erste Stufe: P(rot) = 3/5, P(blau) = 2/5. Zweite Stufe ohne Zurücklegen: Nach einer roten Kugel bleiben 2 rote von 4, also P(rot|rot) = 2/4; nach einer blauen bleiben 3 rote von 4, also P(rot|blau) = 3/4.

Schritt 2 – Teil (a) mit der Produktregel. Entlang des Pfades rot–rot multiplizieren: P(rot, rot) = 3/5 · 2/4 = 6/20 = 3/10 = 0,3.

Schritt 3 – Teil (b) mit der Summenregel. “Genau eine rote” heißt: Pfad rot–blau oder Pfad blau–rot. P = 3/5 · 2/4 + 2/5 · 3/4 = 6/20 + 6/20 = 12/20 = 0,6.

Alle Grundlagen zum Zeichnen findest du im Artikel zum Baumdiagramm mit Pfadregeln.

Aufgabe 2: Vierfeldertafel und bedingte Wahrscheinlichkeit

Aufgabe: An einer Schule mit 200 Schülern besitzen 120 ein Tablet (T). 90 der Tablet-Besitzer nutzen die Mathe-App (A); insgesamt nutzen 110 Schüler die App. (a) Erstelle die Vierfeldertafel. (b) Ein Schüler ohne Tablet wird zufällig ausgewählt – mit welcher Wahrscheinlichkeit nutzt er die App? (c) Ein App-Nutzer wird zufällig ausgewählt – mit welcher Wahrscheinlichkeit besitzt er ein Tablet?

Lösung:

Schritt 1 – Vierfeldertafel ausfüllen. Gegeben sind 200 gesamt, 120 mit Tablet, 90 mit Tablet und App, 110 App-Nutzer gesamt. Der Rest ergibt sich durch Differenzen: 120 − 90 = 30, 110 − 90 = 20, 80 − 20 = 60.

	App (A)	keine App	Summe
Tablet (T)	90	30	120
kein Tablet	20	60	80
Summe	110	90	200

Schritt 2 – Teil (b). Bedingung “kein Tablet” heißt: Wir teilen durch die Zeilensumme 80. P(A|kein T) = 20/80 = 0,25, also 25 %.

Schritt 3 – Teil (c). Jetzt ist die Bedingung “App-Nutzer”, geteilt wird durch die Spaltensumme 110. P(T|A) = 90/110 = 9/11 ≈ 0,818, also rund 81,8 %. Beachte: Das ist nicht dasselbe wie P(A|T) = 90/120 = 0,75 – die Richtung der Bedingung entscheidet.

Schritt 4 – Zusatzfrage: Sind Tablet-Besitz und App-Nutzung unabhängig? Diese Frage wird gern drangehängt, weil sie zeigt, ob du den Unterschied zwischen “bedingt” und “unabhängig” verstanden hast. Für Unabhängigkeit müsste P(T) · P(A) = P(T∩A) gelten. Es ist P(T) = 120/200 = 0,6 und P(A) = 110/200 = 0,55, also P(T) · P(A) = 0,6 · 0,55 = 0,33. Tatsächlich ist aber P(T∩A) = 90/200 = 0,45. Da 0,33 ≠ 0,45, sind Tablet-Besitz und App-Nutzung nicht unabhängig – wer ein Tablet besitzt, nutzt die App überdurchschnittlich oft.

Aufgabe 3: Binomialverteilung – P(X = k) konkret berechnen

Aufgabe: In einer Gummibärchen-Mischung sind erfahrungsgemäß 30 % der Bärchen rot. Du ziehst zufällig 20 Bärchen. Die Zufallsgröße X zählt die roten. Berechne (a) P(X = 5) und (b) die Wahrscheinlichkeit, mindestens 3 rote zu ziehen.

Lösung:

Schritt 1 – Verteilung erkennen. Fester Umfang n = 20, konstante Trefferwahrscheinlichkeit p = 0,3, nur “rot oder nicht rot”: X ist binomialverteilt, X ~ B(20; 0,3).

Schritt 2 – Teil (a) mit der Bernoulli-Formel. P(X = 5) = (20 über 5) · 0,3^5 · 0,7^15. Einzeln: (20 über 5) = 15504, 0,3^5 = 0,00243, 0,7^15 ≈ 0,00475. Zusammen: P(X = 5) ≈ 15504 · 0,00243 · 0,00475 ≈ 0,179, also rund 17,9 %.

Schritt 3 – Teil (b) über das Gegenereignis. “Mindestens 3” rechnest du über das Gegenereignis: P(X ≥ 3) = 1 − P(X ≤ 2). Der Taschenrechner (binomcdf) liefert P(X ≤ 2) ≈ 0,0355, also P(X ≥ 3) ≈ 1 − 0,0355 = 0,9645 – rund 96,5 %.

Aufgabe 4: Erwartungswert und Sigma-Regel

Aufgabe: Ein Glücksrad gewinnt mit Wahrscheinlichkeit p = 0,2. Es wird 100-mal gedreht; X zählt die Gewinne. (a) Bestimme Erwartungswert und Standardabweichung. (b) Gib das Intervall an, in dem die Anzahl der Gewinne mit etwa 95,4 % Wahrscheinlichkeit liegt.

Lösung:

Schritt 1 – Kennwerte berechnen. μ = n · p = 100 · 0,2 = 20 und σ = √(n · p · (1 − p)) = √(100 · 0,2 · 0,8) = √16 = 4.

Schritt 2 – Sigma-Regel anwenden. Wegen σ = 4 > 3 ist die Laplace-Bedingung erfüllt, die Sigma-Regeln dürfen benutzt werden. Für rund 95,4 % gilt das 2σ-Intervall: [μ − 2σ; μ + 2σ] = [20 − 8; 20 + 8] = [12; 28].

Schritt 3 – Antwortsatz. Die Anzahl der Gewinne liegt mit etwa 95,4 % Wahrscheinlichkeit zwischen 12 und 28.

Aufgabe 5: Einseitiger Hypothesentest (Grundkurs-Niveau)

Aufgabe: Ein Hersteller behauptet, höchstens 10 % seiner Bauteile seien defekt. Ein Händler vermutet mehr Ausschuss und prüft eine Stichprobe von n = 100 Teilen auf dem Signifikanzniveau α = 0,05. Bestimme den Ablehnungsbereich und entscheide für den Fall, dass 17 defekte Teile gefunden werden.

Lösung:

Schritt 1 – Hypothesen aufstellen. Nullhypothese H₀: p = 0,1 (Behauptung des Herstellers), Gegenhypothese H₁: p > 0,1. Der Händler testet rechtsseitig; unter H₀ gilt X ~ B(100; 0,1).

Schritt 2 – Ablehnungsbereich bestimmen. Gesucht ist das kleinste k mit P(X ≥ k) ≤ 0,05, gleichwertig P(X ≤ k − 1) ≥ 0,95. Aus der kumulierten Binomialverteilung: P(X ≤ 14) ≈ 0,9274 (reicht nicht) und P(X ≤ 15) ≈ 0,9601 (reicht). Also k = 16 und der Ablehnungsbereich ist A = {16; 17; …; 100}.

Schritt 3 – Irrtumswahrscheinlichkeit angeben. P(X ≥ 16) = 1 − 0,9601 = 0,0399, also rund 4 % – das ist die Wahrscheinlichkeit, H₀ fälschlich zu verwerfen (Fehler 1. Art).

Schritt 4 – Entscheidung. In der Stichprobe sind 17 Teile defekt. Wegen 17 ≥ 16 liegt das Ergebnis im Ablehnungsbereich: H₀ wird verworfen. Die Daten sprechen auf dem 5-%-Niveau dafür, dass die Ausschussquote über 10 % liegt.

Bonus-Aufgabe: Erwartungswert einer allgemeinen Zufallsgröße

Nicht jede Stochastik-Aufgabe im Abitur ist binomialverteilt. Sobald eine Zufallsgröße mehrere unterschiedliche Werte mit eigenen Wahrscheinlichkeiten annimmt (z. B. ein Gewinn in Euro), brauchst du die allgemeine Formel für den Erwartungswert – nicht μ = n · p.

Aufgabe: Bei einem Glücksrad-Spiel ist der Gewinn X (in Euro) wie folgt verteilt: P(X = −2) = 1/2, P(X = 1) = 1/3, P(X = 5) = 1/6. Berechne den Erwartungswert und beurteile, ob das Spiel fair ist.

Lösung:

Schritt 1 – Wertetabelle prüfen. Die Wahrscheinlichkeiten einer Zufallsgröße müssen sich zu 1 addieren: 1/2 + 1/3 + 1/6 = 3/6 + 2/6 + 1/6 = 6/6 = 1. Passt – X ist eine gültige Verteilung. Anders als bei der Binomialverteilung gibt es hier keine feste Formel für die Wahrscheinlichkeiten, sie müssen aus der Aufgabe gegeben oder hergeleitet sein.

Schritt 2 – Erwartungswert berechnen. Mit μ = x₁ · P(X = x₁) + x₂ · P(X = x₂) + x₃ · P(X = x₃) ergibt sich: μ = (−2) · 1/2 + 1 · 1/3 + 5 · 1/6 = −1 + 1/3 + 5/6 = −6/6 + 2/6 + 5/6 = 1/6 ≈ 0,17.

Schritt 3 – Beurteilen. Ein Spiel ist fair, wenn der Erwartungswert genau 0 ist. Hier ist μ ≈ 0,17 € ≠ 0, also ist das Spiel nicht fair – im Mittel gewinnt der Spieler pro Runde etwa 17 Cent. Zum Vergleich: Der Erwartungswert ist der gewichtete Durchschnitt aller möglichen Werte, ähnlich wie der Mittelwert einer Datenreihe der ungewichtete Durchschnitt aller Messwerte ist – nur dass hier jeder Wert mit seiner Eintrittswahrscheinlichkeit statt mit „einmal vorgekommen” gewichtet wird.

So übst du jetzt sinnvoll weiter

Diese Aufgaben sind ein Anfang, keine vollständige Abi-Vorbereitung. Rechne jeden Aufgabentyp in Varianten, bis der Weg automatisch sitzt – wie du das zeitlich strukturierst, zeigt dir mein Mathe-Lernplan für die Klausur. Die Formeln aus der Übersichtstabelle gehören auf einen kompakten Mathe-Abitur Lernzettel. Und welche Stochastik-Schwerpunkte in deinem Jahrgang vorgegeben sind, findest du bei den Themen und Terminen zum Mathe-Abi NRW 2027. Neben Stochastik ist die Analytische Geometrie im Abitur der zweite große Themenblock, den du für eine gute Punktzahl sicher beherrschen solltest.

Fazit: Stochastik Abitur Aufgaben folgen fast immer demselben Muster – Baumdiagramm, Vierfeldertafel (inklusive Unabhängigkeitsprüfung), Binomialverteilung mit μ = n · p und σ = √(n · p · (1 − p)), ein einseitiger Hypothesentest sowie gelegentlich eine allgemeine Zufallsgröße mit eigener Wertetabelle. Wenn du die Aufgaben hier eigenständig und fehlerfrei lösen kannst, bist du für den Stochastik-Teil der Prüfung gut aufgestellt. Hakt es noch irgendwo, geh gezielt zurück in die Erklärartikel und rechne genau diesen Typ noch zweimal – so wird aus Verstehen echtes Können.