Baumdiagramm einfach erklärt (mit Pfadregeln)

Sobald ein Zufallsexperiment aus mehreren Schritten besteht – zweimal ziehen, dreimal werfen, nacheinander prüfen – ist das Baumdiagramm dein wichtigstes Werkzeug. Hier bekommst du das Baumdiagramm einfach erklärt: wie du es zeichnest, was die Pfadregeln bedeuten, wie sich “mit” und “ohne Zurücklegen” unterscheiden und an welchen Stellen meine Schüler regelmäßig Punkte liegen lassen.

Kurz gesagt

Ein Baumdiagramm zeigt ein mehrstufiges Zufallsexperiment Stufe für Stufe. An jeden Ast schreibst du die Wahrscheinlichkeit. Es gelten zwei Pfadregeln: Entlang eines Pfades multiplizierst du (Produktregel), und mehrere Pfade zum selben Ereignis addierst du (Summenregel). An jeder Verzweigung ergeben die Äste zusammen 1.

Wie ist ein Baumdiagramm aufgebaut?

Stell dir vor, du ziehst nacheinander Kugeln aus einer Urne. Jeder einzelne Zug ist eine Stufe. Im Baumdiagramm wird daraus:

• Knoten (Verzweigungspunkt): der Startpunkt vor einer Stufe.
• Äste: die möglichen Ausgänge dieser Stufe (z. B. “rot” oder “blau”). An jeden Ast schreibst du seine Wahrscheinlichkeit.
• Pfad: ein durchgehender Weg von der Wurzel bis zum Ende – also eine vollständige Kombination, etwa “erst rot, dann blau”.

Die wichtigste Kontrolle gleich vorweg: Die Wahrscheinlichkeiten der Äste, die von einem Knoten ausgehen, müssen sich immer zu 1 addieren. Tun sie das nicht, hast du dich verrechnet.

Die zwei Pfadregeln

Das ganze Baumdiagramm zur Wahrscheinlichkeit steht und fällt mit zwei Regeln. Wenn du die sicher trennst, kannst du fast jede Aufgabe lösen.

Regel	Wann	Was du tust
Produktregel (1. Pfadregel)	entlang eines Pfades	Wahrscheinlichkeiten multiplizieren
Summenregel (2. Pfadregel)	mehrere Pfade gehören zum Ereignis	Pfadwahrscheinlichkeiten addieren

Ein erstes Beispiel: Ein Glücksrad zeigt mit P(Gewinn) = 0,3 einen Gewinn. Du drehst zweimal (mit Zurücklegen, die Wahrscheinlichkeit bleibt also gleich).

• Zweimal Gewinn (ein Pfad, Produktregel): 0,3 · 0,3 = 0,09
• Genau einmal Gewinn (zwei Pfade – erst Gewinn/dann Niete oder umgekehrt, Summenregel): 0,3 · 0,7 + 0,7 · 0,3 = 0,21 + 0,21 = 0,42

Baumdiagramm mit Zurücklegen

“Mit Zurücklegen” heißt: Was du gezogen hast, kommt zurück in den Topf. Die Ausgangslage ist auf jeder Stufe identisch, also bleiben die Wahrscheinlichkeiten gleich.

Beispiel: In einer Urne liegen 3 rote und 2 blaue Kugeln, du ziehst zweimal mit Zurücklegen. Auf beiden Stufen gilt P(rot) = 3/5 = 0,6 und P(blau) = 2/5 = 0,4.

• Beide rot: 0,6 · 0,6 = 0,36
• Erst rot, dann blau: 0,6 · 0,4 = 0,24
• Genau eine rote (zwei Pfade): 0,6 · 0,4 + 0,4 · 0,6 = 0,48
• Beide blau: 0,4 · 0,4 = 0,16

Probe mit der Summenregel: 0,36 + 0,24 + 0,24 + 0,16 = 1. Die vier Pfade decken alle Möglichkeiten ab – passt.

Baumdiagramm ohne Zurücklegen

Jetzt der Fall, der die meisten Punkte kostet. “Ohne Zurücklegen” bedeutet: Die gezogene Kugel bleibt draußen. Auf der zweiten Stufe ändern sich deshalb sowohl die Anzahl der passenden Kugeln als auch die Gesamtzahl.

Gleiche Urne (3 rot, 2 blau), aber jetzt ohne Zurücklegen. Erste Stufe: P(rot) = 3/5, P(blau) = 2/5. Auf der zweiten Stufe hängt es davon ab, was zuerst gezogen wurde – es liegen nur noch 4 Kugeln im Topf:

• Beide rot: 3/5 · 2/4 = 6/20 = 0,3
• Erst rot, dann blau: 3/5 · 2/4 = 6/20 = 0,3
• Erst blau, dann rot: 2/5 · 3/4 = 6/20 = 0,3
• Beide blau: 2/5 · 1/4 = 2/20 = 0,1

Probe: 0,3 + 0,3 + 0,3 + 0,1 = 1. Achte auf die zweite Stufe bei “beide rot”: Es sind nur noch 2 rote von 4 Kugeln, also 2/4 und nicht mehr 3/5.

”Mindestens”-Aufgaben clever über das Gegenereignis

Sobald in der Aufgabe “mindestens” steht, lohnt fast immer das Gegenereignis. Statt viele Pfade zu addieren, rechnest du:

P(mindestens einmal A) = 1 − P(keinmal A)

Beispiel: Du drehst das Glücksrad von oben (P(Gewinn) = 0,3) dreimal. Gesucht: mindestens ein Gewinn. Über alle passenden Pfade wäre das mühsam. Über das Gegenereignis “keinmal Gewinn”:

P(keinmal) = 0,7 · 0,7 · 0,7 = 0,343

P(mindestens einmal) = 1 − 0,343 = 0,657

Diesen Trick brauchst du im Abitur ständig – auch bei der Binomialverteilung in der Stochastik, wo dasselbe Prinzip steckt.

Vom Baumdiagramm zur Vierfeldertafel

Bei zweistufigen Experimenten kannst du die Pfadwahrscheinlichkeiten in eine Vierfeldertafel übertragen. Das hilft besonders bei bedingten Wahrscheinlichkeiten, weil du dort die Anteile direkt ablesen kannst. Baumdiagramm und Vierfeldertafel sind also keine Konkurrenten, sondern zwei Sichten auf dieselbe Information – welche du nimmst, hängt von der Fragestellung ab. Die bedingte Wahrscheinlichkeit P(B|A) = P(A ∩ B) / P(A) und die Vierfeldertafel erkläre ich ausführlich in der Stochastik-Übersicht fürs Abitur.

So zeichnest du ein Baumdiagramm richtig

Eine kurze Schritt-für-Schritt-Reihenfolge, die ich meinen Schülern mitgebe:

1. Stufen festlegen: Wie oft wird gezogen/geworfen? So viele Verzweigungsebenen brauchst du.
2. Äste je Stufe einzeichnen: alle möglichen Ausgänge, sauber beschriftet.
3. Wahrscheinlichkeiten an die Äste schreiben – und prüfen, ob sie sich pro Knoten zu 1 ergänzen.
4. Bei “ohne Zurücklegen” die zweite (und weitere) Stufe anpassen.
5. Gesuchtes Ereignis markieren, dann Produkt- und Summenregel anwenden.

Wer das einmal als feste Routine verinnerlicht hat, macht in mehrstufigen Aufgaben kaum noch Fehler. Genau solche Aufgabentypen sind übrigens ein dankbares Abi-Thema, weil sich die Muster wiederholen – mehr dazu in meiner Mathe-Abitur Vorbereitung mit Plan und Themen.

Übung zum Schluss

In einer Schublade liegen 4 schwarze und 2 graue Socken. Du ziehst zwei Socken ohne Zurücklegen. Wie wahrscheinlich ist ein gleichfarbiges Paar? (Lösung: beide schwarz 4/6 · 3/5 = 12/30, beide grau 2/6 · 1/5 = 2/30, zusammen 14/30 ≈ 0,467.) Wenn du das ohne Spickzettel hinbekommst, sitzen die Pfadregeln. Eine Übersicht aller Themen findest du unter Mathe einfach erklärt, und wer mehr über meinen Unterricht wissen will, schaut bei Über Niru vorbei.