Ableitungsregeln einfach erklärt mit Beispielen

Die Ableitung gibt die Steigung einer Funktion an jeder Stelle an. Klingt abstrakt, ist aber das Werkzeug, mit dem du Hoch- und Tiefpunkte, Wendepunkte und das Verhalten von Funktionen bestimmst. Hier bekommst du alle wichtigen Ableitungsregeln mit Beispielen – durchgerechnet, so wie ich es meinen Schülern beibringe.

Kurz gesagt

Ableiten heißt: aus einer Funktion f(x) die Steigungsfunktion f′(x) bestimmen. Bei f(x) = x² ist f′(x) = 2x. Die Ableitung sagt dir an jeder Stelle, wie stark der Graph steigt oder fällt. Es gibt sechs Regeln, die du dafür brauchst – und genau die rechnen wir jetzt der Reihe nach durch.

Alle Ableitungsregeln auf einen Blick

Bevor wir ins Detail gehen, hier die Übersichtstabelle. Druck sie dir aus, sie passt auf einen Spickzettel:

Regel	Funktion f(x)	Ableitung f′(x)
Potenzregel	xⁿ	n · xⁿ⁻¹
Faktorregel	c · u(x)	c · u′(x)
Summenregel	u(x) + v(x)	u′(x) + v′(x)
Produktregel	u(x) · v(x)	u′·v + u·v′
Quotientenregel	u(x) / v(x)	(u′·v − u·v′) / v²
Kettenregel	u(v(x))	u′(v(x)) · v′(x)

Die ersten drei sind die Grundregeln, mit denen du jedes Polynom ableitest. Die letzten drei sind die „großen” Regeln für zusammengesetzte Funktionen.

Die Grundregeln

Potenzregel

Die wichtigste Regel überhaupt: f(x) = xⁿ → f′(x) = n · xⁿ⁻¹. Du holst den Exponenten nach vorne und verringerst ihn um 1.

Beispiel 1: f(x) = x³ → f′(x) = 3·x² = 3x².

Beispiel 2: Auch mit negativen oder gebrochenen Exponenten: f(x) = x⁻² = 1/x² → f′(x) = −2·x⁻³ = −2/x³. Und f(x) = √x = x^(1/2) → f′(x) = ½·x^(−1/2) = 1/(2√x).

Merke: Die Ableitung einer Konstanten ist 0 (f(x) = 7 → f′(x) = 0), und f(x) = x hat f′(x) = 1.

Faktorregel

Ein konstanter Faktor bleibt beim Ableiten erhalten: f(x) = c · u(x) → f′(x) = c · u′(x).

Beispiel: f(x) = 5x² → f′(x) = 5 · 2x = 10x.

Summenregel

Summen (und Differenzen) werden gliedweise abgeleitet: jeder Summand wird einzeln abgeleitet.

Beispiel: f(x) = x³ + x² − 4x + 7 → f′(x) = 3x² + 2x − 4. Die 7 fällt als Konstante weg.

Mit diesen drei Regeln kombiniert leitest du jedes Polynom ab – das deckt schon den Großteil der Aufgaben in der Einführungsphase ab.

Die drei „großen” Regeln

Produktregel

Wenn zwei Funktionen multipliziert werden, gilt für f(x) = u · v: f′ = u′·v + u·v′.

Beispiel (durchgerechnet): f(x) = x² · sin(x).

• Setze u = x² → u′ = 2x
• Setze v = sin(x) → v′ = cos(x)
• Einsetzen: f′(x) = 2x · sin(x) + x² · cos(x).

Quotientenregel

Wenn eine Funktion durch eine andere geteilt wird, gilt für f(x) = u / v: f′ = (u′·v − u·v′) / v². Achtung auf die Reihenfolge im Zähler – das Minuszeichen sitzt zwischen den Termen, und u′·v kommt zuerst.

Beispiel (durchgerechnet): f(x) = x / (x² + 1).

• u = x → u′ = 1
• v = x² + 1 → v′ = 2x
• Einsetzen: f′(x) = (1·(x² + 1) − x·2x) / (x² + 1)² = (x² + 1 − 2x²) / (x² + 1)² = (1 − x²) / (x² + 1)².

Kettenregel

Bei verschachtelten Funktionen f(x) = u(v(x)) gilt: äußere mal innere Ableitung, f′ = u′(v(x)) · v′(x).

Beispiel (durchgerechnet): f(x) = (3x + 1)⁵.

• Äußere Funktion: u(z) = z⁵ → u′(z) = 5z⁴, also 5·(3x + 1)⁴
• Innere Funktion: v(x) = 3x + 1 → v′(x) = 3
• Zusammen: f′(x) = 5·(3x + 1)⁴ · 3 = 15·(3x + 1)⁴.

Die innere Ableitung (die „· 3”) ist genau das, was am häufigsten vergessen wird.

Wann nehme ich welche Regel?

Die Schüler-Frage Nummer eins: Produkt-, Quotienten- oder Kettenregel? So entscheidest du in drei Sekunden:

• Werden zwei Funktionen multipliziert (u · v)? → Produktregel
• Wird geteilt (u / v)? → Quotientenregel
• Steckt eine Funktion in einer anderen ((...)ⁿ, sin(...), e^(...))? → Kettenregel

Oft kombinierst du mehrere Regeln in einer Aufgabe – z. B. erst Produktregel, dann innen die Kettenregel. Geh dann immer von außen nach innen vor.

Wozu brauche ich Ableitungen?

Mit f′(x) findest du Extrempunkte (dort ist f′(x) = 0), mit der zweiten Ableitung f″(x) unterscheidest du Hoch- und Tiefpunkte und findest Wendepunkte. Das ist die Grundlage der Kurvendiskussion Schritt für Schritt – ein Kernthema im Mathe-Abitur. Die Umkehrung des Ableitens, das Aufleiten, lernst du in der Integralrechnung fürs Abitur. Weitere Themen findest du im Überblick Mathe einfach erklärt.

Übungsaufgaben mit Lösungen

Rechne erst selbst, dann klapp die Lösung gedanklich auf. Genau diese Mischung kommt in Klausuren dran.

Aufgabe 1 (Potenz- + Summenregel): Leite ab: f(x) = 4x³ − 2x² + 5x − 9. Lösung: f′(x) = 12x² − 4x + 5.

Aufgabe 2 (Faktor- + Potenzregel mit Wurzel): Leite ab: f(x) = 6√x = 6·x^(1/2). Lösung: f′(x) = 6 · ½ · x^(−1/2) = 3/√x.

Aufgabe 3 (Produktregel): Leite ab: f(x) = x³ · e^x. Lösung: u = x³ → u′ = 3x², v = e^x → v′ = e^x. Also f′(x) = 3x²·e^x + x³·e^x = x²·e^x·(3 + x).

Aufgabe 4 (Quotientenregel): Leite ab: f(x) = (2x + 1) / (x − 3). Lösung: u = 2x+1 → u′ = 2, v = x−3 → v′ = 1. Also f′(x) = (2·(x−3) − (2x+1)·1) / (x−3)² = (2x − 6 − 2x − 1) / (x−3)² = −7 / (x−3)².

Aufgabe 5 (Kettenregel): Leite ab: f(x) = (2x² + 1)³. Lösung: Äußere: 3·(2x² + 1)², innere: 4x. Also f′(x) = 3·(2x² + 1)² · 4x = 12x·(2x² + 1)².

Wenn du diese fünf sicher löst, beherrschst du die Ableitungsregeln, die du in der gesamten Oberstufe brauchst.