Mathe einfach erklärt
Ableitungsregeln einfach erklärt mit Beispielen
Die Ableitung gibt die Steigung einer Funktion an jeder Stelle an. Klingt abstrakt, ist aber das Werkzeug, mit dem du Hoch- und Tiefpunkte, Wendepunkte und das Verhalten von Funktionen bestimmst. Hier bekommst du alle wichtigen Ableitungsregeln mit Beispielen – so erklärt, wie ich es meinen Schülern beibringe.
Kurz gesagt
Ableiten heißt: aus einer Funktion f(x) die Steigungsfunktion f′(x) bestimmen. Bei
f(x) = x²istf′(x) = 2x. Die Ableitung sagt dir an jeder Stelle, wie stark der Graph steigt oder fällt.
Die Grundregeln
Potenzregel
Die wichtigste Regel überhaupt: f(x) = xⁿ → f′(x) = n · xⁿ⁻¹.
Beispiel: f(x) = x³ → f′(x) = 3x².
Faktorregel
Ein konstanter Faktor bleibt erhalten: f(x) = 5x² → f′(x) = 10x.
Summenregel
Summen werden gliedweise abgeleitet: f(x) = x³ + x² → f′(x) = 3x² + 2x.
Die drei „großen” Regeln
Produktregel
Für f(x) = u · v gilt: f′ = u′·v + u·v′.
Beispiel: f(x) = x² · sin(x) → f′(x) = 2x·sin(x) + x²·cos(x).
Quotientenregel
Für f(x) = u / v gilt: f′ = (u′·v − u·v′) / v².
Kettenregel
Für verschachtelte Funktionen f(x) = u(v(x)) gilt: äußere mal innere Ableitung, f′ = u′(v(x)) · v′(x).
Beispiel: f(x) = (3x + 1)⁵ → f′(x) = 5·(3x + 1)⁴ · 3.
Die häufigsten Fehler meiner Schüler
1) Bei der Kettenregel die innere Ableitung vergessen (die „· 3” oben). 2) Produkt- und Kettenregel verwechseln. 3) Das Minuszeichen in der Quotientenregel verlieren. Wenn du diese drei vermeidest, hast du die halbe Klausur sicher.
Wozu brauche ich Ableitungen?
Mit f′(x) findest du Extrempunkte (dort ist f′(x) = 0), mit der zweiten Ableitung f″(x) unterscheidest du Hoch- und Tiefpunkte und findest Wendepunkte. Das ist die Grundlage der Kurvendiskussion – ein Kernthema im Mathe-Abitur. Weitere Themen findest du im Überblick Mathe einfach erklärt.
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Leite ab: f(x) = (2x² + 1)³. (Lösung: Kettenregel → f′(x) = 3·(2x² + 1)² · 4x = 12x·(2x² + 1)².) Wenn du hier sicher bist, beherrschst du die wichtigste Regel der Oberstufe.
