Satz des Pythagoras Formel: a² + b² = c² einfach erklärt

Der Satz des Pythagoras mit seiner Formel a² + b² = c² ist eines der Werkzeuge, das du in Klasse 9 lernst und danach nie wieder loswirst – in der ZP10, im Abi und sogar in der Trigonometrie. Ich bin Niru und gebe seit Jahren 1:1-Mathe-Nachhilfe. Hier bekommst du die Satz-des-Pythagoras-Formel verständlich erklärt: Was Kathete und Hypotenuse sind, wie du nach c und nach a umstellst, dazu durchgerechnete Übungen, eine Textaufgabe, die Umkehrung zum Prüfen auf Rechtwinkligkeit und kurz den Satz des Thales.

Kurz gesagt: Im rechtwinkligen Dreieck gilt a² + b² = c². a und b sind die Katheten (am rechten Winkel), c ist die Hypotenuse (längste Seite, gegenüber dem rechten Winkel). Hypotenuse: c = √(a² + b²). Kathete: a = √(c² − b²).

Die Formel und ihre Bausteine

Der Satz des Pythagoras gilt nur im rechtwinkligen Dreieck. Er verknüpft die drei Seitenlängen miteinander:

a² + b² = c²

In Worten: Die Summe der Quadrate über den beiden Katheten ist gleich dem Quadrat über der Hypotenuse.

Seite	Name	Lage im Dreieck
a, b	Katheten	bilden den rechten Winkel
c	Hypotenuse	gegenüber dem rechten Winkel, immer die längste Seite

Das Wichtigste zuerst: c ist immer die Hypotenuse – die längste Seite. Wer das verwechselt, rechnet die ganze Aufgabe falsch. Such also zuerst den rechten Winkel; die Seite, die ihm gegenüberliegt, ist c.

Hypotenuse berechnen: Formel und Beispiel

Sind beide Katheten bekannt und du suchst die Hypotenuse, stellst du die Formel nach c um:

c = √(a² + b²)

Beispiel: Ein Dreieck hat die Katheten a = 6 cm und b = 8 cm. Wie lang ist die Hypotenuse?

• c² = a² + b² = 6² + 8² = 36 + 64 = 100
• c = √100 = 10

Die Hypotenuse ist also c = 10 cm. Tipp: 3-4-5 und 6-8-10 sind klassische “schöne” Tripel, die in Klassenarbeiten gern auftauchen.

Kathete berechnen: Formel und Beispiel

Wenn die Hypotenuse c und eine Kathete bekannt sind, suchst du eine kürzere Seite. Dann wird subtrahiert:

a = √(c² − b²) bzw. b = √(c² − a²)

Achte auf das Minus statt Plus – genau hier passieren die meisten Fehler. Mehr zum Umformen solcher Gleichungen findest du unter Terme und Termumformungen.

Beispiel: Die Hypotenuse ist c = 13 cm, eine Kathete b = 5 cm. Wie lang ist die andere Kathete a?

• a² = c² − b² = 13² − 5² = 169 − 25 = 144
• a = √144 = 12

Die gesuchte Kathete ist a = 12 cm. Auch 5-12-13 ist ein bekanntes pythagoreisches Tripel.

Textaufgabe: Leiter an der Wand

Textaufgaben zum Satz des Pythagoras laufen fast immer gleich: Skizze machen, rechten Winkel finden, Seiten zuordnen, einsetzen.

Beispiel: Eine 5 m lange Leiter lehnt an einer Wand. Der Fuß der Leiter steht 1,4 m von der Wand entfernt. Wie hoch reicht die Leiter an der Wand?

Wand und Boden bilden den rechten Winkel. Die Leiter ist die Hypotenuse (c = 5), der Abstand am Boden eine Kathete (b = 1,4), die gesuchte Höhe die andere Kathete (a):

• a² = c² − b² = 5² − 1,4² = 25 − 1,96 = 23,04
• a = √23,04 = 4,8

Die Leiter reicht 4,8 m hoch. Beachte: Die Leiter selbst ist die längste Seite, also c – das ist der entscheidende Zuordnungsschritt.

Die Umkehrung: ist das Dreieck rechtwinklig?

Die Umkehrung des Satzes des Pythagoras funktioniert in die andere Richtung: Gilt a² + b² = c² für die drei Seiten, dann ist das Dreieck rechtwinklig (mit dem rechten Winkel gegenüber c). Gilt die Gleichung nicht, ist es nicht rechtwinklig.

So gehst du vor:

1. Längste Seite als c festlegen.
2. a² + b² ausrechnen.
3. c² ausrechnen.
4. Vergleichen.

Beispiel: Hat ein Dreieck mit den Seiten 9 cm, 12 cm und 15 cm einen rechten Winkel?

• Längste Seite: c = 15, also a = 9, b = 12
• a² + b² = 81 + 144 = 225
• c² = 15² = 225

Beide Werte sind gleich 225 → das Dreieck ist rechtwinklig. Gegenbeispiel: bei 5, 6, 8 wäre 25 + 36 = 61 ≠ 64, also kein rechter Winkel.

Satz des Thales kurz erklärt

Eng verwandt ist der Satz des Thales. Er liefert dir rechte Winkel “geschenkt”:

Liegt der Punkt C auf einem Halbkreis über dem Durchmesser AB, dann ist der Winkel bei C immer 90°.

Anders gesagt: Jeder Punkt auf dem Thaleskreis bildet mit den Endpunkten des Durchmessers ein rechtwinkliges Dreieck, in dem AB die Hypotenuse ist. Eine eigene Formel hat der Satz des Thales nicht – seine “Formel” ist die Aussage, dass der Winkel im Halbkreis 90° beträgt. Praktisch nutzt du ihn z. B. zum Konstruieren von Tangenten oder um zu begründen, warum ein Dreieck überhaupt rechtwinklig ist – und dann wieder mit a² + b² = c² weiterzurechnen.

Übungen zum Selberrechnen

Rechne diese Satz-des-Pythagoras-Übungen durch (Lösungen dahinter):

1. a = 9, b = 12, gesucht c. → c = √(81 + 144) = √225 = 15
2. c = 25, a = 7, gesucht b. → b = √(625 − 49) = √576 = 24
3. Ist das Dreieck 8, 15, 17 rechtwinklig? → 64 + 225 = 289 = 17² → ja.

Wer hier sicher ist, hat einen der wichtigsten ZP10-Bausteine drauf. Eine Übersicht aller Prüfungsthemen findest du unter ZP10 Mathe NRW, und der Satz taucht oft zusammen mit der Trigonometrie (Sinus, Cosinus, Tangens) auf, wo du fehlende Winkel berechnest. Weitere Geometrie steckt in Fläche und Umfang berechnen sowie in der Körperberechnung (Volumen, Oberfläche).

Fazit: Die Satz-des-Pythagoras-Formel a² + b² = c² ist einfach, wenn du drei Dinge beachtest: c ist immer die Hypotenuse, zum Berechnen einer Kathete wird subtrahiert (a = √(c² − b²)), und am Ende die Wurzel nicht vergessen. Mit der Umkehrung prüfst du Rechtwinkligkeit, und der Satz des Thales liefert dir rechte Winkel im Halbkreis. Eine Übersicht über alle Themen gibt es unter Mathe einfach erklärt.