Logarithmus einfach erklärt (mit Regeln, Beispielen & Tabelle)

Spätestens wenn in einer Gleichung das x im Exponenten steht – etwa 2^x = 50 –, kommst du ohne den Logarithmus nicht weiter. Er ist die Umkehrung des Potenzierens und taucht in der Oberstufe bei Exponentialfunktionen, Wachstum, Zerfall und in fast jedem Analysis-Abitur auf. Hier bekommst du den Logarithmus einfach erklärt: was die Schreibweise bedeutet, die Logarithmusgesetze als Tabelle, den Unterschied zwischen ln, lg und log – und die Stolperfallen, an denen meine Schüler in der Online-Nachhilfe regelmäßig hängen.

Kurz gesagt

Der Logarithmus beantwortet die Frage: „Hoch wie viel?” log_b(x) = n bedeutet genau b^n = x. Beispiel: log_2(8) = 3, weil 2^3 = 8. Es gibt drei Logarithmusgesetze – Produkt wird Summe, Quotient wird Differenz, und ein Exponent darf nach vorne gezogen werden. Genau das letzte Gesetz holt das x aus dem Exponenten und macht Exponentialgleichungen lösbar. Definiert ist der Logarithmus nur für Argumente x > 0.

Was bedeutet der Logarithmus genau?

Der Logarithmus ist die Umkehrung der Potenz. Beim Potenzieren kennst du Basis und Exponent und suchst das Ergebnis: 2^3 = 8. Beim Logarithmieren ist es umgekehrt – du kennst Basis und Ergebnis und suchst den Exponenten:

log_2(8) = 3, weil 2^3 = 8.

In Worten liest du das als: „Logarithmus von 8 zur Basis 2 ist 3.” Die Frage dahinter ist immer dieselbe: Mit welchem Exponenten muss ich die Basis hochnehmen, um auf die Zahl im Logarithmus zu kommen? Genau diese „Hoch wie viel?”-Frage ist der Schlüssel zum ganzen Thema.

Drei Bausteine solltest du auseinanderhalten:

• die Basis b (steht unten, das ist die Zahl, die potenziert wird),
• das Argument x (steht in der Klammer, das gesuchte Ergebnis der Potenz),
• der Logarithmus selbst – das ist der Exponent, also die Lösung.

Weil der Logarithmus das Gegenstück zur Potenz ist, lohnt es sich, vorher die Potenzgesetze sicher zu beherrschen – jedes Logarithmusgesetz spiegelt direkt ein Potenzgesetz wider.

Ein paar Werte zum Mitrechnen

Die folgenden Beispiele kannst du komplett im Kopf nachvollziehen, wenn du die „Hoch wie viel?”-Frage stellst:

Logarithmus	Frage	Ergebnis
log_2(16)	2 hoch wie viel ist 16?	4, weil 2^4 = 16
log_10(1000)	10 hoch wie viel ist 1000?	3, weil 10^3 = 1000
log_3(81)	3 hoch wie viel ist 81?	4, weil 3^4 = 81
log_5(1)	5 hoch wie viel ist 1?	0, weil 5^0 = 1
log_2(0,5)	2 hoch wie viel ist 0,5?	−1, weil 2^{−1} = 0,5

Zwei Werte gelten für jede Basis und sind klausurrelevant: log_b(1) = 0 (jede Basis hoch 0 ergibt 1) und log_b(b) = 1 (die Basis hoch 1 ergibt sich selbst).

ln, lg und log – welche Basis ist gemeint?

Drei Schreibweisen begegnen dir ständig, und gerade hier entsteht viel Verwirrung:

• lg ist der Zehnerlogarithmus zur Basis 10, also log_10. Praktisch für Größenordnungen, etwa beim pH-Wert.
• ln ist der natürliche Logarithmus zur Basis e ≈ 2,718. Das ist der wichtigste in der Oberstufe, weil die Funktion e^x beim Ableiten sich selbst ergibt.
• log ohne Index ist mehrdeutig: an der Schule oft Basis 10, in der Informatik manchmal Basis 2, an der Uni häufig der natürliche Logarithmus. Achte immer auf den Kontext.

Für das Abitur gilt eine einfache Faustregel: Wenn das x im Exponenten einer e-Funktion steht, nimmst du ln. Mehr dazu, wie e-Funktionen im Lehrplan vorkommen, findest du im Überblick Mathe einfach erklärt.

Die drei Logarithmusgesetze (mit Tabelle)

Die Logarithmusgesetze sind das eigentliche Werkzeug. Sie wandeln Multiplikation in Addition um – genau das, wofür Logarithmen historisch erfunden wurden.

Gesetz	Regel	Beispiel
Produktregel	log(a·b) = log(a) + log(b)	log_2(4·8) = log_2(4) + log_2(8) = 2 + 3 = 5
Quotientenregel	log(a/b) = log(a) − log(b)	log_2(16/2) = log_2(16) − log_2(2) = 4 − 1 = 3
Potenzregel	log(a^r) = r · log(a)	log_2(8^2) = 2 · log_2(8) = 2 · 3 = 6

Die Potenzregel ist die wichtigste: Sie zieht einen Exponenten als Faktor nach vorne. Genau damit befreist du das x aus dem Exponenten – siehe das durchgerechnete Beispiel unten. Wichtig: Alle drei Gesetze gelten nur, wenn dieselbe Basis verwendet wird.

Basiswechsel – Logarithmen mit dem Taschenrechner

Dein Taschenrechner kann meist nur ln (Basis e) und log/lg (Basis 10). Andere Basen rechnest du mit der Basiswechsel-Formel um:

log_b(x) = ln(x) / ln(b)

Beispiel: log_2(10) = ln(10)/ln(2) ≈ 2,3026 / 0,6931 ≈ 3,322. Du kannst statt ln genauso gut lg nehmen – Hauptsache, oben und unten dieselbe Basis.

Wofür braucht man den Logarithmus? Exponentialgleichungen lösen

Der häufigste Einsatz im Abitur: eine Gleichung, in der das x im Exponenten steht. Lösen wir 2^x = 50 Schritt für Schritt.

• Beide Seiten logarithmieren (hier mit ln): ln(2^x) = ln(50)
• Potenzregel anwenden – das x wandert nach vorne: x · ln(2) = ln(50)
• Nach x auflösen: x = ln(50) / ln(2) ≈ 3,912 / 0,693 ≈ 5,644

Probe: 2^{5,644} ≈ 50. Genau dieses Muster – logarithmieren, Potenzregel, durch ln(Basis) teilen – brauchst du bei Halbwertszeit, Verzinsung und Bakterienwachstum immer wieder. Mein Tipp aus dem Unterricht: Schreib die drei Schritte als festes Rezept auf einen Merkzettel, dann läuft jede Exponentialgleichung gleich ab.

In der Analysis tauchen Logarithmen außerdem als eigene Funktion auf. Die Ableitung von ln(x) ist 1/x – ein Standardwert, den du aus den Ableitungsregeln kennen solltest, bevor du ln-Funktionen in einer Kurvendiskussion untersuchst.

Merkregeln, die wirklich helfen

• Logarithmus = „Hoch wie viel?” Diese eine Frage ersetzt jede Definition.
• log_b(1) = 0 und log_b(b) = 1 – gelten für jede Basis, immer.
• Produkt → Summe, Quotient → Differenz, Exponent → Faktor. Die drei Gesetze sind das ganze Werkzeug.
• Nur x > 0 ist erlaubt – 0 und negative Argumente gibt es nicht.
• x im Exponenten? Beide Seiten logarithmieren und Potenzregel anwenden.

Wenn du diese fünf Punkte sicher beherrschst, deckst du den allergrößten Teil der Logarithmus-Aufgaben ab. Wer dahinter steht und wie ich unterrichte, liest du über mich.

Übung zum Schluss

Löse 3^x = 100 und gib das Ergebnis auf drei Nachkommastellen an. (Lösung: ln(3^x) = ln(100); dann x · ln(3) = ln(100); also x = ln(100)/ln(3) ≈ 4,605 / 1,099 ≈ 4,192.) Wenn du das ohne Spickzettel hinbekommst, sitzt der Logarithmus – und den brauchst du von der Oberstufe bis ins Studium praktisch überall, wo etwas wächst oder zerfällt.